Generating Functions and Poisson Manifolds

De Hamilton mechanica en quantum mechanica hebben aanleiding gegeven tot de studie van verschillende types meetkundige objecten, namelijk die van symplectische varieteiten en Poisson varieteiten. Deze objecten behoren tot het domein van de differentiaalmeetkunde. Een belangrijke component van de structuur van een Poisson varieteit is een operatie op de gladde functies op de varieteit, die de formele eigenschappen heeft van een infinitesimaal restant van een associatief product op deze functies. Een van de centrale vragen in het vakgebied is of zon infinitesimale strucuur ook daadwerkelijk restant is van een globaal product van functies op de varieteit. Deze vraag staat bekend als het deformatie-quantisatie probleem, en werd aan het eind van de negentiger jaren positief beantwoord door Kontsevich, die voor speciale gevallen ook een expliciete formule voor dit product vond. Poisson varieteiten blijken een centrale positie in te nemen, daar zij een rol spelen in uiteenlopende onderwerpen zoals de theory van Lie algebras, foliatietheorie, de theorie van symplectische groupoiden, en in het probleem van deformatie-quantisatie. Voor een gegeven Poisson varieteit is het verband tussen een mogelijke bijbehorende ("integrerende") symplectische groupoide en een expliciet associatief product (_a la Kontsevich) een groot mysterie. Uit werk van met name Cattaneo en Felder is nu een nieuwe structuur opgekomen, die van een universele genererende functie, die zowel met de symplectische groupoide als met dit associatieve product te maken heeft, en een mogelijke link tussen de twee vormt. Bovendien blijkt de universele genererende functie veel gelijkenis te vertonen met ingredienten van de Connes-Kreimer Hopf algebra die ten grondslag ligt aan de normalisatie van quantumveldentheorie. Al met al voldoende reden om zulke genererende functies grondig te onderzoeken.