Interacting Stochastic Models on Small-World networks

Schaal-vrije toevalsgrafen zijn belangrijke modellen voor zogenaamde "small-world" netwerken. Veel communicatienetwerken vertonen zulk "small-world" en schaal-vrij gedrag. In dit project bestuderen we systemen met wisselwerking op deze grafen in de limiet van een oneindig groot systeem en onderzoeken hun fase-overgangen. De motivatie is dat natuurlijk ontstane communicatienetwerken vaak een small-world karakter hebben. Dit laatste betekent dat de lengte van het kortste pad tussen twee willekeurig gekozen punten een langzaam groeiende functie is van het totaal aantal punten. Voorbeelden zijn het internet, vriendschapsnetwerken, wetenschappelijke netwerken, (biologische) neurale netwerken in organismen, organisatienetwerken in firmas, etc. We zijn van plan modellen te bestuderen van stochastische systemen met wisselwerking op deze grafen. Deze beschrijven het gedrag van invididuen zoals dit afhangt van dat van hun buren in het netwerk. We onderzoeken het collectieve gedrag van zulke systemen als functie van model-parameters. In het bijzonder is het ons doel onderscheid te maken tussen het regime waarin de individuen zich vrijwel onafhankelijk van elkaar gedragen en het regime waarin ze een "long-range order" vertonen, in welk geval een collectieve toestand ontstaat. In zon geordende toestand zal gevoelige afhankelijkheid van model parameters optreden (plotselinge veranderingen van mening) voor specifieke parameterwaarden. Dit cruciale verschijnsel correspondeert met een fase-overgang in de statistische mechanica. We zullen deze correspondentie benutten om voordeel te behalen uit onze ervaring met methoden uit de statistische mechanica. Daarnaast zullen we gebruik maken van recente resultaten over afstanden in schaal-vrije grafen, die gestoeld zijn op een beschrijving van de structuur van deze grafen.