Stability, Bifurcations and Stabilisation of Invariant Sets in Differential Inclusions

Discontinuïteiten zijn aanwezig in een groot aantal systemen. Hierbij kan men denken aan bijvoorbeeld wrijving in mechanische systemen, diodes in elektrische netwerken of schakelende regelsystemen. Modellen van dergelijke systemen worden vaak geformuleerd in termen van differentiaalvergelijkingen met een discontinu rechterlid. Wanneer er geen sprongen in de toestand voorkomen, kunnen deze systemen kunnen ook geformuleerd worden als differentiaalinclusies, waarbij het rechterlid door een meerwaardige functie beschreven wordt. Deze systemen worden ook wel Filippov systemen genoemd. Evenwichtsoplossingen en (quasi-)periodieke oplossingen van differentiaalinclusies vormen belangrijke klassen van limietoplossingen voor dergelijke systemen. De evenwichtsoplossingen kunnen (één of meerdere) geïsoleerde evenwichtspunten zijn, welke op of buiten het discontinuïteitsoppervlak liggen, of corresponderen met evenwichtsverzamelingen, welke op het discontinuïteitsoppervlak liggen. Evenzo, kunnen de (quasi-)periodieke oplossingen zich in het gladde domein van de toestandsruimte bevinden of de discontinuïteit raken (of er gedeeltelijk langs glijden). De stabiliteitseigenschappen van deze limietoplossingen beïnvloeden in grote mate de globale dynamica van het systeem. Het eerste projectdoel is dan ook de ontwikkeling van een stabiliteitstheorie voor deze limietoplossingen van differentiaalinclusies. Gerelateerd aan deze stabiliteitsanalyse is de generieke vraag wat er gebeurt als het model (glad) afhangt van parameters. Aan de ene kant wordt deze vraag gemotiveerd door de notie van robuustheid. Namelijk, model parameters zijn in het algemeen onderhevig aan een bepaalde mate van onzekerheid, hetgeen een fundamentelere analyse van de dynamica als functie van deze parameters vereist. Aan de andere kant, kunnen regelparameters in een regelsysteem gevarieerd worden, mogelijk ook leidend tot bifurcaties. Buiten het discontinuïteitsoppervlak kan bijvoorbeeld een Hopf-bifurcatie een stabiel evenwichtspunt transformeren in een stabiele periodieke oplossing. Een secundaire Hopf-Ne??mark-Sacker bifurcatie kan leiden tot een tweedimensionale torus attractor, waarop andere periodieke oplossingen met een veelvoud van de oorspronkelijke periode of quasi-periodieke oplossingen kunnen leven. Wanneer dergelijke bifurcaties buiten het discontinuïteitsoppervlak optreden is kennis hieromtrent ruimschoots voorhanden. Echter de huidige uitdaging ligt in de uitbreiding van deze kennis naar de gevallen waarin de attractor dichtbij de discontinuïteit ligt en aan kleine verandering van de parameters een botsing tussen deze twee kan veroorzaken. Het tweede doel van dit project is dan ook de studie van dergelijke niet-gladde bifurcaties. In de context van het regelen van discontinue systemen, vormt de stabilisatie van evenwichtsoplossingen van differentiaalinclusies een even belangrijk onderwerp. Hierbij kan men denken aan de stabilisatie van evenwichtsoplossingen van gladde systemen door middel van schakelende regelingen of de stabilisatie van evenwichtsoplossingen van Filippov systemen gebruikmakend van een glad of discontinu regelaarontwerp. Hiermee definiëren we het derde projectdoel, namelijk de ontwikkeling van strategie¨en voor regelaarontwerp met als doel het stabiliseren van de evenwichtspunten/evenwichtsverzamelingen van differentiaalinclusies. Vanzelfsprekend zal de ontwikkeling van deze ontwerpstrategie¨en voortbouwen op, ten eerste, de stabiliteitstheorie voor evenwichtspunten/evenwichtsverzamelingen van differentiaalinclusies en, ten tweede, het verkregen inzicht in bifurcaties in deze systemen.